Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Okay, gut, wir hatten ein paar wichtige Begriffe kennengelernt.

Reeller Vektoraum, linearer Unterraum, linear Kombination, Spann oder lineare Hülle genannt oder von der anderen Seite gesehen erzeugenden System.

Mit diesen Begriffen werden wir jetzt erstmal einige Zeit arbeiten und schauen, was wir damit anfangen können.

Schauen wir mal geometrisch hin, eine Gerade, das hatten wir gesehen, eine Gerade durch den Nullpunkt,

das sind im Anschein gerade die Vielfachen eines festen Vektors, also des festen von Null verschiedenen Vektors,

aus dieser Gerade, das heißt in dem Sinn ist die Gerade im R2, im R3, im Rn oder auch allgemein in einem beliebigen Vektorraum

einfach der Spann eines von Null verschiedenen Elementes.

Der Spann von der Null ist natürlich nur der Nullraum, das ist wiederum was anderes, aber wenn ich irgendein von Null

verschiedenes Element aus einer Gerade nehme, dann kann ich damit die ganze Gerade aufspannen.

Wir sehen also auch schon, ich hatte ja diese Frage aufgeworfen, wie unterscheiden sich Vektorräume?

Anscheinend nicht durch die Anzahl der Elemente, denn wenn man vom Nullraum absieht, haben alle Vektorräume,

solange wir zumindest die reellen Zahlen zugrunde legen, was wir jetzt sehr lange tun werden,

immer unendlich viele oder sogar überabzählbar unendlich viele Elemente.

Das kann also nicht die Unterscheidung sein, trotzdem würden wir sagen,

eine Gerade ist viel kleiner als eine Ebene, eine Ebene kleiner als der dreidimensionale Raum,

der dreidimensionale Raum und jetzt benutze ich schon ein Wort, was wir gar nicht eingeführt haben,

nämlich den Begriff der Dimension und auf den wir jetzt hinsteuern werden.

Wir sehen also, was die Gerade so klein macht, ist also anscheinend, dass sie von einem Element aufgespannt wird,

dass das schon reicht. Wenn ich eine Ebene habe, dann wird die anscheinend von zwei, eine Ebene durch den Nullpunkt,

dann kann ich tief in zwei Elementen aufspannen. Das heißt aber nicht, dass, egal, wenn ich zwei Elemente nehme,

aus einem Vektorraum oder denken Sie konkret an den R3 oder Rn, ich immer eine Ebene bekomme.

Wenn der eine Vektor ein vielfaches Datum des anderen Vektors ist, dann bekomme ich keine Ebene, sondern ich bekomme nur eine Gerade.

Das heißt also, sobald ich mehr als einen Vektor habe, der einen Raum aufspann, dann bekomme ich eine gewisse Uneindeutigkeit im Allgemeinen hinein.

Es ist klar, wir haben ja gesehen, wenn ich Vektoren hinzunehme, dann wird der Spann höchstens größer.

Das heißt also, wenn ich eine gemisse Menge von Vektoren habe, die einen Unterraum aufspanne,

dann kann ich immer noch irgendwelche aus dem Unterraum hinzunehmen und dann habe ich halt den gleichen Unterraum aufgespannt.

Ich kann sozusagen unnötige Vektoren dabei haben. Das sind Begrifflichkeiten, die wir dann so sukzessive fassen müssen.

Und fangen wir mal an, jetzt noch ein paar konkrete Vektoren kennenzulernen, ein paar konkrete Beispiele von Unterräumen.

Was uns jetzt ständig begegnen wird im RN, sozusagen unserem absoluten Hauptbeispiel, sind die sogenannten Einheitsvektoren.

Das sind Vektoren, die bezeichnen wir mit E, E Nü, und E Nü ist der Vektor, der genau an der Nütenposition eine Eins hat und an allen anderen Positionen eine Null.

Das sind also welche Vektoren sind das gerade, wenn Sie sozusagen an sowas wie analytische Geometrie denken?

Ja, man kann sagen, dass es sozusagen der Vektor oder einer der möglichen Vektoren, die Koordinatenachsen,

mit denen wir gewohnt sind zu arbeiten, wenn wir analytische Geometrie machen, darstellt oder aufspannt jetzt in unserem Sinne.

Gut, jetzt können wir uns mal sozusagen den Spann, die lineare Hülle von solchen Vektoren anschauen.

Wenn wir nur bis, wenn wir sagen wir mal von E1 bis EK gehen, dann heißt das ja, was heißt das per Definition,

das ist die Menge aller Linearkombinationen aus diesen E Nü mit beliebigen reellen Zahlen C Nü. Das heißt also, wir halten Vektoren,

die auf den ersten K Positionen beliebig gesetzt sind, da ist, da bekomme ich ja eben gerade C Nü mal 1 plus Nü und auf allen anderen Positionen mit Nü besetzt sind.

Das heißt, ich bekomme hier einen Unterraum, der gerade dadurch charakterisiert ist, dass die Koordinaten K plus 1 bis N gleich Null sind.

Sagen Sie es nochmal deutlicher?

Es ist vielleicht jetzt an der Zeit, den Zweidaumenmodus auszuschalten und den Gehirnmodus einzuschalten.

Vielleicht können wir uns darauf einigen.

Okay.

Ansonsten muss ich Sie auffordern, Ihren Laptop zuzumachen.

Was ist das also für ein Unterraum? Im R2 wäre das eben gerade die x1-Achse. Im Anschauungsraum wäre das die Ebene durch die ersten beiden Koordinaten gegeben ist

und so geht das sukzessive weiter. Und sobald wir da ein bisschen höher gehen, in N gibt es da noch verschiedene Varianten, je nachdem, wie viele Koordinaten wir Null setzen.

Wir können natürlich auch gar keine Koordinaten Null setzen, wir können bis xn gehen, dann ist es der ganze Rn.

Das heißt, wir haben hier auf jeden Fall mal eine Menge von Vektoren, die den ganzen Rn aufspannen.

Es gibt viele, viele andere Mengen, die das tun, aber das ist eine ganz spezielle.

Okay, wir können natürlich auch in, wir müssen nicht im Tupelraum bleiben, wir können auch in ganz andere Vektorräume gehen.